jueves, 23 de julio de 2009

Teorías de los Conjuntos

Conjunto

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones).[1] Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso .


Contenido

Determinación de un conjunto

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.

  • Determinación de un conjunto por extensión

Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Ejemplo. - El conjunto de los números naturales menores que 9.

 A = \{1,2,3,4,5,6,7,8 \} \,
  • Determinación de un conjunto por comprensión

Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

Ejemplo. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.

 B = \{x: x \; es \; una \; vocal \} \,


Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos. Las aplicaciones de teoría de conjuntos es muy amplia, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con Probabilidad; incluso, sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.

Representación de un conjunto

Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:

  C = \{rojo, amarillo, azul \}  \,
  D = \{rojo, azul, amarillo, rojo \}  \,
  E = \{x: x \; es \; un \; color \; primario \}  \,
Image:Conjuntos 04.svg
A es Subconjunto de B
Image:Conjuntos 01b.svg
Unión de A y B
Image:Conjuntos 01a.svg
Intersección de A y B

Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.

Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.

La unión de una colección de conjuntos:  S= \{ S_1 , S_2 , S_3 , ... \} \, es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos   S_1 , S_2 , S_3 , ...  \, y se representa:  S=  S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup ...  \,


La intersección de una colección de conjuntos:  T= \{ T_1 , T_2 , T_3 , ... \} \, , es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos:   T_1 , T_2 , T_3 , ...  \, y se representa:  T=  T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap ...  \,

los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario,conjunto finito,conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:

  1. Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
  2. Los números enteros
  3. Los números racionales
  4. Los números reales, que incluyen a los números irracionales
  5. Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0.
La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad

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